数学の基本のひとつである「素数」と「素因数分解」。
学校で習ったものの、日常生活ではあまり意識することがなく、理解が曖昧になっている方も多いかもしれません。
しかし、素数や素因数分解は数学の土台となる考え方であり、暗号技術やコンピュータ科学などの現代技術にも深く関わっています。
本記事では、数学が苦手な方でもスムーズに理解できるように、まず 「素数や素因数分解を理解するための前提知識」 を解説し、その後に 「素数と素因数分解」 の概念を詳しく説明します。
ぜひ最後まで読んで、数学の基礎をしっかりと学び直しましょう！
1. 素数と素因数分解を理解するための前提知識
1-1. 数の分類（自然数・整数・有理数・無理数）
「素数」と「素因数分解」は、自然数 という分類に属する概念です。
- 自然数（1, 2, 3, 4, 5, …）
→ 1以上の整数で、0や負の数は含まない。 - 整数（… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …）
→ 正の数（自然数）と負の数、ゼロを含む。 - 有理数（整数や分数：1/2, -3/4, 2, -5, 0, 1.5）
→ 分数や整数として表せる数。 - 無理数（√2, πなど）
→ 分数で表せない数（循環しない小数）。
素数は自然数の中に存在する特別な数 です。整数全体を考えるとき、負の素数という概念はないため、素数を学ぶ際は自然数を基本とします。
1-2. 約数と倍数
素数を理解するには、「約数」と「倍数」の概念をしっかり押さえておくことが重要 です。
- 約数 とは、ある数を割り切ることができる数。
例：12の約数 → 1, 2, 3, 4, 6, 12 - 倍数 とは、ある数に整数を掛けた結果の数。
例：3の倍数 → 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
素数は「約数が1と自分自身しかない数」 という特徴を持ちます。
逆に言えば、1とその数自身以外にも約数がある数は「合成数」 と呼ばれます。
1-3. 公約数と公倍数
「最大公約数」や「最小公倍数」を求める際に、素因数分解が重要な役割を果たします。
- 公約数：2つ以上の数に共通する約数
- 例：12と18の公約数は 1, 2, 3, 6
- 最大公約数は 6
- 公倍数：2つ以上の数の共通の倍数
- 例：12と18の公倍数 → 36, 72, 108, …
- 最小公倍数は 36
公約数と公倍数を求めるためには、各数を素因数分解するのが便利 なのです。
2. 素数とは？もっと詳しく理解しよう
2-1. 素数の定義と特徴
素数とは？
「1と自分自身以外に約数を持たない、1より大きい自然数」
例えば、以下の数は素数です。
→ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
素数の特徴
- 2は唯一の偶数の素数（他の偶数はすべて2で割れるため素数ではない）
- すべての素数は1と自分自身でしか割り切れない
- 素数の個数は無限にある（古代ギリシャの数学者ユークリッドが証明）
2-2. 1は素数ではない理由
「1は素数ではないの？」と疑問に思うかもしれませんが、1は 「1と自分自身」 の条件を満たしません。
なぜなら、1の約数は 「1のみ」 であり、素数の定義（1と自分自身の2つの約数を持つこと）を満たさないからです。
3. 素因数分解とは？徹底解説！
3-1. 素因数分解の基本
素因数分解とは、ある整数を「素数の積」に分解すること を指します。
すべての自然数は、素数の掛け算で一意に表すことができます。（これを 「整数の一意分解定理」 と呼びます。）
3-2. 素因数分解の具体例
いくつかの数を素因数分解してみましょう。
例1：12の素因数分解
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
- 3は素数なので終了
→ 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
例2：45の素因数分解
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5は素数なので終了
→ 45 = 3 × 3 × 5 = 3² × 5
例3：120の素因数分解
- 120 ÷ 2 = 60
- 60 ÷ 2 = 30
- 30 ÷ 2 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
→ 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5
4. 素因数分解が重要な理由
4-1. 最大公約数（GCD）と最小公倍数（LCM）の計算に役立つ
例えば、18 と 24 の最大公約数を求めてみましょう。
- 18 = 2 × 3 × 3
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
共通する素因数は 2 × 3 = 6 なので、最大公約数（GCD）は 6 です。
4-2. 暗号技術（RSA暗号）に応用されている
素因数分解が極めて難しい性質を持つため、RSA暗号というインターネット通信の安全性を保つ技術に活用されています。
5. まとめ
本記事では、素数と素因数分解について詳しく解説しました。
- 素数は「1と自分自身しか約数を持たない数」
- 素因数分解は、自然数を素数の掛け算で表すこと
- 最大公約数や暗号技術など、実際に役立つ場面も多い
この知識を活かして、数学をより深く理解していきましょう！